베지에 곡선 (Bézier Curve)은 $n$ 개의 점으로부터 얻어지는 $n-1$ 차 곡선으로 부드러운 곡선을 생성하는 데에 유용하다.

1차 베지에 곡선 (Linear Bézier Curve)

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위그림과 같이 두개의 점이있고 점은 P0에서 P1까지 일정한속도로 이동하고있다 이떄 t값은 점의 좌표가 P0에서 P1까지의 거리를 1이라고 가정했을때 이동한 비율이다. 공식은 다음과 같다.

$\mathbf {B} (t)=\mathbf {P} _{0}+t(\mathbf {P} _{1}-\mathbf {P} _{0})=(1-t)\mathbf {P} _{0}+t\mathbf {P} _{1}{\mbox{ , }}0\leq t\leq 1$

만약 P0의위치는 (1,1), P1의 위치가 (2,2)이고 t가 0.10 일때 (P0으로부터 출발해서 10%이동할시에 위치) 위공식을 사용해서 구한 점의 위치는 아래와 같이 구한다.

[1.1, 1.1] = (1-0.1) x [1,1] + (0.1) x [2,2];

위공식을 unity로 구현시 코드는 다음과 같다.

Vector3 LinearBezierCurve(float t, Vector3 P0, Vector3 P1)
{
 
    return ((1 - t) * P0) + (t * P1);
}

2차 베지에 곡선 (Quadratic Bézier Curve)

위그림과 같이 3개의 좌표점 P0, P1, P2 과 P0과 P1 사이에 이동하는 점 M0 과 P1에서 P2로 이동하는점 M1을 연결하는 선이 새로 추가된다. 그리고 M0에서 M1을 이동하는 점 B가 생기고 그이동경로가 바로 2차 베지에 곡선이다. 공식은 다음과 같다.

$\mathbf {B} (t)=(1-t)^{2}\mathbf {P} _{0}+2(1-t)t\mathbf {P} _{1}+t^{2}\mathbf {P} _{2}{\mbox{ , }}0\leq t\leq 1.$

위공식을 unity로 구현시 코드는 다음과 같다.

Vector3 LinearBezierCurve(float t, Vector3 p0, Vector3 p1)
{
 
    return ((1 - t) * p0) + (t * p1);
}
 
Vector3 QuadraticBezierCurve(float t, Vector3 p0, Vector3 p1, Vector3 p2) {
    Vector3 m0 = LinearBezierCurve(t, p0, p1);
    Vector3 m1 = LinearBezierCurve(t, p1, p2);
    return LinearBezierCurve(t, m0, m1);
}

위 코드를 설명하자면

베지에 곡선 m0을 p0 과 p1사이에서 구한다.

베지에 곡선 m1을 p1 과 p2사이에서 구한다.

베지에 곡선 b을 m0 과 m1사이에서 구해 리턴한다.